Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Complete intersection ring Πλήρης δακτύλιος διατομής

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας πλήρης δακτύλιος διατομής είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος παρόμοιος με τους δακτυλίους συντεταγμένων των ποικιλιών που είναι πλήρεις τομές. Ανεπίσημα, μπορούν να θεωρηθούν περίπου ως οι τοπικοί δακτύλιοι που μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας τον "ελάχιστο δυνατό" αριθμό σχέσεων.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας τοπικός πλήρης δακτύλιος διατομής είναι ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος του οποίου η ολοκλήρωση είναι το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου προς ένα ιδεώδες που παράγεται από μια κανονική ακολουθία. Η συνεκτίμηση της ολοκλήρωσης αποτελεί μια μικρή τεχνική επιπλοκή λόγω του γεγονότος ότι δεν είναι όλοι οι τοπικοί δακτύλιοι πηλίκα κανονικών δακτυλίων. Για τους δακτυλίους που είναι πηλίκα κανονικών τοπικών δακτυλίων, οι οποίοι καλύπτουν τους περισσότερους από τους τοπικούς δακτυλίους που εμφανίζονται στην αλγεβρική γεωμετρία, δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψιν οι συμπληρώσεις στον ορισμό.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι $\mathbb {Z}$ , ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ πάνω από ένα πεδίο K, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ . Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων $R^{G}$ όταν R είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω R το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου S προς το ιδεώδες I που παράγεται από τα r × r ελάσσονες κάποιου p × q πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του I είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση (p−r+1)(q−r+1), R, ο R ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ ^[1]. Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα:

Ο δακτύλιος K[x]/(x²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
Ο υποδακτύλιος K[t², t³] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο t=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης y² = x³ πάνω από το K.
Ο υποδακτύλιος K[t³, t⁴, t⁵] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο t=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.

Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ.^[2] Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt ^[3](Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ,^[4] Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των F-ρητών ιδιομορφιών, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Έστω X μια προβολική ποικιλία διάστασης n ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω L μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο X. Τότε ο δακτύλιος τομής της L

R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})

είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας Hⁱ(X, L^j) είναι μηδέν για όλα τα 1 ≤ i ≤ n−1 και όλους τους ακέραιους j.^[5] Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec R πάνω από μια αβελιανή ποικιλία X' είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν η X έχει διάσταση 1, αλλά όχι όταν η X έχει διάσταση τουλάχιστον 2 (επειδή η H¹(X, O) δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.

Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα $X$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο $x\in X$ ο τοπικός δακτύλιος ${\mathcal {O}}_{X,x}$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών ^[6] όπου το όριο του ομαλού χώρου ${\mathcal {M}}_{g}$ αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης $\leq 1$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.^[7]. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.^[8]

Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα

X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)

έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη $(x)\cdot (x,y)$ . Γεωμετρικά είναι ο άξονας $y$ με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως παχύ σημείο. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ , μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες $I_{x}$ ενός σημείου στο $x\in C$ και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες $I_{C}$ του $C$ . Τότε

X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)

είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο $x$ .

Θεωρία της διατομής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλία^[9] και V, W κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής $V\times _{X}W$ , δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος A του $V\times _{X}W$ στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των V και W κατά μήκος του Z δίνεται ως το μήκος του A:^[10]

i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)

.

Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}

το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.

Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον R. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο R είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο R είναι ένας πλήρης τομέας^[11]. Τότε ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module A- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως moduleA^[12].

Μια γεωμετρική αναδιατύπωση έχει ως εξής. Έστω X ένα συνδεδεμένο αφινικό σχήμα πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα πεδίο K (παραδείγματος χάριν, μια αφινική ποικιλία). Έστω n η διάσταση του X. Με την κανονικοποίηση της Νέτερ, υπάρχει ένας πεπερασμένος μορφισμός f από το X στον αφινικό χώρο Aⁿ πάνω από το K. Τότε το X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν όλες οι ίνες του f έχουν τον ίδιο βαθμό ^[13]. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του f.

Τέλος, υπάρχει μια εκδοχή της Θαυματουργής Επιπεδότητας (Miracle Flatness) για βαθμωτούς δακτυλίους. Έστω R μια πεπερασμένης παραγωγής αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο K,

R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .

Υπάρχει πάντα ένας βαθμωτός πολυωνυμικός υποδακτύλιος A ⊂ R (με γεννήτορες σε διάφορους βαθμούς), έτσι ώστε ο R να παράγεται πεπερασμένα ως A-module. Τότε το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το R είναι ελεύθερο ως διαβαθμισμένο A-μόριο. Και πάλι, προκύπτει ότι αυτή η ελευθερία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του πολυωνυμικού υποδακτυλίου A.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Κοέν-Μακόλεϊ^[14].
Αν ο R είναι δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[x] και ο δακτύλιος δυναμοσειρών R[[x]] είναι Κοέν-Μακώλεϊ^[15]^[16]
Για έναν μη μηδενικό διαιρέτη u στο μέγιστο ιδεώδες ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν ο R/(u) είναι Κοέν-Μακόλεϊ^[17].
Το πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ με οποιοδήποτε ιδανικό είναι καθολικά κατιόν^[18].
Αν ο R είναι πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο τόπος { p ∈ Spec R | R_p είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Spec R.^[19]
Έστω (R, m, k) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ενσωμάτωσης c, που σημαίνει ότι c = dim_k(m/m²) − dim(R). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων c σε ένα κανονικό σχήμα. Για c=1, το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι δακτύλιος υπερεπιφάνειας. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για τους δακτυλίους Κοέν-Μακόλεϊ συνδιάστασης 2, το θεώρημα Χίλμπερτ-Burch: είναι όλοι προσδιοριστικοί δακτύλιοι, που ορίζονται από τα r × r ελάσσονες ενός (r+1) × rr πίνακα για κάποιο r.
Για έναν Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (R, m), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:^[20]

Ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Για κάθε παραμετρικό ιδεώδες Q (ένα ιδανικό που παράγεται από ένα σύστημα παραμέτρων),
$\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$ := η πολλαπλότητα Χίλμπερτ-Σαμουέλ του Q.
Για κάποιο παραμετρικό ιδεώδες Q, length Q, $\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$ .

(Βλέπε Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ καθώς και δακτύλιος Μπούχσμπαουμ για δακτυλίους που γενικεύουν αυτόν τον χαρακτηρισμό).

Το θεώρημα της μη ανάμειξης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα ιδεώδες I ενός Ναιτεριανού δακτυλίου A ονομάζεται άμικτος σε ύψος αν το ύψος του I είναι ίσο με το ύψος κάθε σχετιζόμενου πρώτου P του A/I. (Αυτό είναι ισχυρότερο από το να λέμε ότι ο A/Iείναι ισοδιάστατος- βλ. παρακάτω).

Το θεώρημα του άμικτου λέγεται ότι ισχύει για τον δακτύλιο A αν κάθε ιδανικό I που παράγεται από αριθμό στοιχείων ίσο με το ύψος του είναι αμιγές. Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το θεώρημα μη ανάμειξης ισχύει γι' αυτόν^[21].

Το θεώρημα της μη-αναμείξεως ισχύει ιδίως για το μηδενικό ιδεώδες (ένα ιδεώδες που παράγεται από μηδενικά στοιχεία) και επομένως καθιστά δυνατό να πούμε ότι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας ισοδιάστατος δακτύλιος- στην πραγματικότητα, με την ισχυρή έννοια: δεν υπάρχει ολοκληρωμένη συνιστώσα και κάθε συνιστώσα έχει την ίδια συνδιάσταση.

Βλέπε επίσης: οιονεί μικτός δακτύλιος (ένας δακτύλιος στον οποίο το θεώρημα της μη μικτότητας ισχύει για το ολοκληρωτικό κλείσιμο ενός ιδεώδους).

Αντιπαραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[x,y]/(x²,xy) (ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας ευθείας με ενσωματωμένο σημείο) δεν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Αυτό προκύπτει, για παράδειγμα, από το (θαύμα επίπεδοτητα) Miracle Flatness: Ο R είναι πεπερασμένος πάνω στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = K[y], με βαθμό 1 πάνω στα σημεία της αφινικής γραμμής Spec A με y ≠ 0, αλλά με βαθμό 2 πάνω στο σημείο y = 0 (επειδή ο K-διανυσματικός χώρος K[x]/(x²) έχει διάσταση 2).
Αν το K είναι ένα πεδίο, τότε ο δακτύλιος K[x,y,z]/(xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης μιας γραμμής και ενός επιπέδου) είναι μειωμένος, αλλά όχι ισοδιάστατος, και συνεπώς όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Παίρνοντας το πηλίκο από τον μη μηδενικό διαιρέτη x-z δίνει το προηγούμενο παράδειγμα.
Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης δύο επιπέδων που συναντώνται σε ένα σημείο) είναι μειωμένος και ισοδιάστατος, αλλά όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Για να το αποδείξουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνδεσιμότητας του Χάρτσχορν: αν ο R είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ με διάσταση τουλάχιστον 2, τότε ο Spec R μείον το κλειστό του σημείο είναι συνδεδεμένος.^[22]

Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια από τις έννοιες της συνθήκης Κοέν-Μακόλεϊ εμφανίζεται στη θεωρία της συνεκτικής δυαδικότητας. Μια ποικιλία ή ένα σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το "σύμπλεγμα δυϊσμού", το οποίο βρίσκεται προφανώς στην παράγωγη κατηγορία των δεσμών πάνω στο X, αντιπροσωπεύεται από μια απλή στήλη. Η ισχυρότερη ιδιότητα του να είναι Γκόρενσταϊν σημαίνει ότι αυτή η δέσμη είναι μια δέσμη γραμμών. Ειδικότερα, κάθε κανονικό σχήμα είναι Γκόρενσταϊν. Έτσι, οι δηλώσεις των θεωρημάτων δυαδικότητας όπως η δυαδικότητα Σερ ή η τοπική δυαδικότητα Γκρόθεντιεκ για σχήματα Γκόρενσταϊν ή Κοέν-Μακόλεϊ διατηρούν κάποια από την απλότητα όσων συμβαίνουν για κανονικά σχήματα ή λείες ποικιλίες.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR1251956
Majadas, Javier; Rodicio, Antonio G. (2010). Smoothness, Regularity and Complete Intersection. Cambridge University Press. ISBN 9781139107181
Tate, John (1957), “Homology of Noetherian rings and local rings”, Illinois Journal of Mathematics 1: 14–27, ISSN 0019-2082, MR0086072
Wiebe, Hartmut (1969), “Über homologische Invarianten lokaler Ringe”, Mathematische Annalen 179: 257–274, doi:10.1007/BF01350771, ISSN 0025-5831, MR0255531

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Commutative Ring Theory
Rings Close to Regular
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.18.
↑ Fulton (1993), p. 89.
↑ Braun, Lukas (2021-12). «The local fundamental group of a Kawamata log terminal singularity is finite». Inventiones mathematicae 226 (3): 845–896. doi:10.1007/s00222-021-01062-0. ISSN 0020-9910. http://arxiv.org/abs/2004.00522.
↑ Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22.
↑ Kollár (2013), (3.4).
↑ Honsen, Morten. «Compactifying Locally Cohen–Macaulay Projective Curves» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 5 Μαρτίου 2020.
↑ «Lemma 31.4.4 (0BXG)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Ανακτήθηκε στις 5 Μαρτίου 2020.
↑ Wiegand, Roger (December 1991). «Curve singularities of finite Cohen–Macaulay type» (στα αγγλικά). Arkiv för Matematik 29 (1–2): 339–357. doi:10.1007/BF02384346. ISSN 0004-2080. Bibcode: 1991ArM....29..339W. https://projecteuclid.org/euclid.afm/1485898045.
↑ smoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component.
↑ Fulton 1998, Proposition 8.2. (b)
↑ Bruns & Herzog, Theorem A.22.
↑ Eisenbud (1995), Corollary 18.17.
↑ Eisenbud (1995), Exercise 18.17.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.5.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.7.
↑ Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.9.
↑ Matsumura (1989), Exercise 24.2.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.11.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.6.
↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.12.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση] [[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]

[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες] [[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]

[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι [[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία

[[Κατηγορία:Ιλιάδα [[Κατηγορία:Ήφαιστος

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
πρόχειρο

Επίσημη ιστοσελίδα

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

{Authority control}}

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]

[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Τορίνο]]

Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]

Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]

Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]] Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]

{commonscat}}

Άλλο θἐμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

List of national and state libraries
de:Liste der Nationalbibliotheken
es:Anexo:Bibliotecas nacionales

Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών

[1] Eisenbud (1995), Theorem 18.18.

[2] Fulton (1993), p. 89.

[3] Braun, Lukas (2021-12). «The local fundamental group of a Kawamata log terminal singularity is finite». Inventiones mathematicae 226 (3): 845–896. doi:10.1007/s00222-021-01062-0. ISSN 0020-9910. http://arxiv.org/abs/2004.00522.

[4] Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22.

[5] Kollár (2013), (3.4).

[6] Honsen, Morten. «Compactifying Locally Cohen–Macaulay Projective Curves» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 5 Μαρτίου 2020.

[7] «Lemma 31.4.4 (0BXG)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Ανακτήθηκε στις 5 Μαρτίου 2020.

[8] Wiegand, Roger (December 1991). «Curve singularities of finite Cohen–Macaulay type» (στα αγγλικά). Arkiv för Matematik 29 (1–2): 339–357. doi:10.1007/BF02384346. ISSN 0004-2080. Bibcode: 1991ArM....29..339W. https://projecteuclid.org/euclid.afm/1485898045.

[9] smoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component.

[10] Fulton 1998, Proposition 8.2. (b)

[11] Bruns & Herzog, Theorem A.22.

[12] Eisenbud (1995), Corollary 18.17.

[13] Eisenbud (1995), Exercise 18.17.

[14] Matsumura (1989), Theorem 17.5.

[15] Matsumura (1989), Theorem 17.7.

[16] Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.

[17] Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).

[18] Matsumura (1989), Theorem 17.9.

[19] Matsumura (1989), Exercise 24.2.

[20] Matsumura (1989), Theorem 17.11.

[21] Matsumura (1989), Theorem 17.6.

[22] Eisenbud (1995), Theorem 18.12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Ἀλλο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

θέματα για διόρθωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θέμα επεξεργασίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρία της διατομής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα της μη ανάμειξης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντιπαραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άλλο θἐμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]